최소공배수 계산기

최대공약수와 최소공배수란?

최대공약수(GCD)는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 수 중 가장 큰 값입니다. 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6 이고 이 중 가장 큰 6이 최대공약수입니다.

최소공배수(LCM)는 두 수의 공통된 배수 중 가장 작은 값입니다. 4와 6의 공배수는 12, 24, 36… 이고 가장 작은 12가 최소공배수입니다.

소인수분해로 구하는 방법

각 수를 소수의 곱으로 쪼갠 뒤,

• 최대공약수는 공통으로 들어있는 소인수를 가장 적은 개수만큼 곱합니다.
• 최소공배수는 나온 모든 소인수를 가장 많은 개수만큼 곱합니다.

예를 들어 12 = 2×2×3, 18 = 2×3×3 이라면 공통인 2와 3을 각각 하나씩 곱해서 최대공약수는 6, 2는 두 개·3은 두 개까지 곱해서 최소공배수는 36이 됩니다.

두 수의 곱과의 관계

알아두면 편한 공식이 있습니다. 최대공약수 × 최소공배수 = 두 수의 곱 입니다.

12와 18이라면 6 × 36 = 216 이고, 12 × 18 = 216 으로 같습니다. 최대공약수만 구하면 최소공배수는 나눗셈 한 번으로 나옵니다. 단, 이 공식은 수가 두 개일 때만 성립합니다.

1~30의 약수와 소인수분해표

최대공약수와 최소공배수 계산의 출발점은 소인수분해입니다. 자주 쓰는 수를 미리 정리해 두었습니다.

표에서 몇 가지가 눈에 띕니다.

• 소수는 약수가 정확히 2개입니다. 1과 자기 자신뿐이죠. 1~30에는 소수가 10개(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) 있습니다.
• 1은 소수가 아닙니다. 약수가 1개뿐이라 소수의 정의(약수 2개)에 맞지 않습니다. 소수도 합성수도 아닌 특별한 수입니다.
• 24와 30은 약수가 8개로 30 이하에서 가장 많습니다. 그래서 나누어떨어지는 경우가 많아 시계(12·24)나 각도(30·60·360)처럼 나눌 일이 많은 곳에 쓰입니다.

약수 개수를 빨리 세는 법

소인수분해만 하면 약수를 일일이 안 세도 개수를 알 수 있습니다. 각 지수에 1을 더해서 곱하면 됩니다.

24 = 2³×3¹ → (3+1) × (1+1) = 8개
30 = 2¹×3¹×5¹ → 2 × 2 × 2 = 8개

지수에 1을 더하는 이유는 그 소인수를 0개부터 최대 개수까지 쓸 수 있기 때문입니다. 24에서 2는 0개, 1개, 2개, 3개 중 하나를 고를 수 있으니 네 가지입니다.

서로소

최대공약수가 1인 두 수를 서로소라고 합니다. 3과 5처럼 공통된 약수가 1밖에 없는 관계입니다. 서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수를 그냥 곱한 값이 됩니다.

어디에 쓰나요?

분수의 덧셈에서 통분할 때 분모의 최소공배수를 쓰고, 약분할 때 최대공약수를 씁니다. 일상에서는 서로 주기가 다른 두 일정이 언제 다시 겹치는지 계산할 때(예: 3일마다 오는 버스와 5일마다 오는 배가 다시 만나는 날) 최소공배수를 활용합니다.